2-Procurando as coordenadas

                                                        Gráficos de função

 

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico de funções em espaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema do gráfico fechado.

Para que estudar função ??

Muitas grandezas presentes no nosso dia-a-dia se relacionam de forma especial.




Número de pães que vou comprar com o preço a pagar.

Número de questões que acertei num teste com a nota que eu vou tirar.

Valor do meu salário com o desconto do INSS.

Medida de contorno do meu terreno, com a quantidade de metros de arame de que preciso para cercá-lo

Velocidade média de um automóvel com o tempo de duração de uma viagem.

Entre outros:

Matemáticos que contribuiram com o estudo das funções

                                                  Leibniz

                                            

Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Leibniz uso o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu igualmente a terminologia de Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adoptada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748).

O termo "função" não aparecia ainda num léxico matemático surgido em 1716. Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes. "constante", "variável" e " parâmetro".

                                                                

                                                      

                                                      Bernoulli

                                    

 Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1654 — Basileia, 16 de Agosto de 1705), foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.

  Publicou a primeira integração de uma equação diferencial; deu solução ao problema dos isoperímetros, que abriu caminho ao cálculo das variações de Euler e Lagrange e estendeu suas principais aplicações ao cálculo das probabilidades. É considerado o pai do cálculo exponencial. Foi professor de matemática em Basiléia, tendo sido importantíssima sua contribuição à geometria analítica, à teoria das probabilidades e ao cálculo de variações.

  Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das probabilidades Ars Conjectandi, que ainda oferece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística.

                                                                Euler

                        


Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 — São Petersburgo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha.

Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática.

                                                              Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 13 de fevereiro de 1805 — Göttingen, 5 de maio de 1859) foi um matemático alemão, a quem se atribui a moderna definição formal de função.

Sua família era originária da cidade de Richelet, na Bélgica, origem de seu apelido "Lejeune Dirichlet" ("o jovem de Richelet").

Dirichlet nasceu em Düren, onde seu pai era chefe dos Correios. Foi educado na Alemanha e na França, onde foi aluno dos mais renomados matemáticos da época. Sua primeira publicação foi sobre o Último teorema de Fermat, a famosa conjectura (hoje provada) que afirmava que para N >2, a equação x²+y² não possui soluções inteiras, com exceção da solução trivial em que , , ou é zero, para a qual concebeu uma prova parcial para N=5 , que foi completada por Adrien-Marie Legendre, que foi um dos avaliadores. Dirichlet também completou sua própria demonstração quase ao mesmo tempo; mais tarde, ele também forneceu uma prova completa para o caso de N=14.

                                                           Lagrange

Joseph Louis Lagrange (Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813) foi um matemático francês, pois apesar de ter nascido na Itália, naturalizou-se francês. O pai de Lagrange havia sido tesoureiro de guerra da Sardenha, tendo se casado com Marie-Thérèse Gros, filha de um rico físico. Foi o único de dez irmãos que sobreviveu à infância. Napoleão Bonaparte fez dele senador, conde do império e grande oficial da Legião de Honra.

- Como surgiu o estudo de funções

 Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis, e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVI para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis sem qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

1-A história conta...

O que é função:

 Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.


Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo

f(x)= x²

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.

Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo,

g(x,y)= xy


recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy.

De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em



xf(x)= 1
f(x)= 1/x